35
35
Kategória: |
Bizonyítás
- Tétel
|
Évfolyam: |
9. |
Kulcsszó: |
Maradékosztályok |
Lektorálás: |
Nem lektorált |
A teljes maradékrendszer tétel
Bizonyítás
Bizonyítsuk be a tételt indirekt módon! Tegyük föl, hogy

között van két egyenlő, legyenek ezek a maradékok

és

!
Ekkor

igaz, hiszen ez egyenértékű az

kifejezéssel.

. Ezt és a kezdeti

feltételt felhasználva nyilvánvalóan

igaz.
Mivel a maradék kisebb, mint az osztó, így

. Föntebb beláttuk, hogy

-nek oszthatónak kell lennie

-nel, viszont

kisebb, mint

. Így

lehetséges csak, vagyis

.
Tehát, ha valamely két tag egyenlő

, akkor az a két tag saját maga. Így minden maradékból pontosan egy van, tehát beláttunk a tételt.