Kategória:	Bizonyítás - Tétel	Évfolyam:	9.
Kulcsszó:	Ceva-egyenesek	Lektorálás:	Nem lektorált

A Ceva-tétel és megfordítása

A Ceva-tétel bizonyítása

$\frac{T_{APC\Delta}}{T_{BPC\Delta}}=\frac{T_{AC_1C\Delta}-T_{AC_1P\Delta}}{T_{BC_1C\Delta}-T_{BC_1P\Delta}}=\frac{\frac{AC_1\cdot m_c}{2}-\frac{AC_1\cdot p_c}{2}}{\frac{BC_1\cdot m_c}{2}-\frac{BC_1\cdot p_c}{2}}=\frac{AC_1(m_c-p_c)}{BC_1(m_c-p_c)}=\frac{AC_1}{BC_1}$ Hasonlóan: $\frac{T_{BPA\Delta}}{T_{CPA\Delta}}=\frac{BA_1}{A_1C}$ és $\frac{T_{CPB\Delta}}{T_{APB\Delta}}=\frac{CB_1}{B_1A}$ .

Ezeket a törteket a fönti egyenletbe behelyettesítve:

$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$

Észrevehető, hogy $\frac{T_{APC\Delta}}{T_{BPC\Delta}}\cdot\frac{T_{BPA\Delta}}{T_{CPA\Delta}}\cdot\frac{T_{CPB\Delta}}{T_{APB\Delta}}=1$ , mivel a tört egyszerűsíthető az $1$ alakra.

Ahhoz, hogy a tétel teljesüljön, könnyen belátható, hogy az $A_1, B_1, C_1$ pontok közül vagy mindhárom rajta van a háromszög bizonyos oldalán (ekkor lehet közös metszéspont), vagy egy van rajta, a másik kettő csak az oldalegyenesén, nem az oldalán (ekkor a közös metszésponton kívül lehetnek párhuzamosak is az egyenesek). (Csak ebben a két esetben lehet egy közös metszéspont vagy párhuzamosság, a másik két esetben (amikor két pont van az oldalon, egy pedig az oldalegyenesen; vagy mindhárom pont csak az oldalegyenesen van rajta) mindig három különböző metszéspont létezik.) Így három esetet kell bizonyítanunk (és ennek megfordításait).

1. Mindhárom pont az oldalakon, közös metszéspont

2.a Két pont az oldalegyeneseken, egy az oldalon, közös metszéspont

A fenti megoldás mintájára bizonyítsuk be ezt az esetet!

Észrevehető, hogy $\frac{T_{APC\Delta}}{T_{BPC\Delta}}\cdot\frac{T_{BPA\Delta}}{T_{CPA\Delta}}\cdot\frac{T_{CPB\Delta}}{T_{APB\Delta}}=1$ , mivel a tört egyszerűsíthető az $1$ alakra.

$\frac{T_{APC\Delta}}{T_{BPC\Delta}}=\frac{T_{AC_1P\Delta}-T_{AC_1C\Delta}}{T_{T_{BC_1P\Delta}-BC_1C\Delta}}=\frac{\frac{AC_1\cdot p_c}{2}-\frac{AC_1\cdot m_c}{2}}{\frac{BC_1\cdot p_c}{2}-\frac{BC_1\cdot m_c}{2}}=\frac{AC_1(p_c-m_c)}{BC_1(p_c-m_c)}=\frac{AC_1}{BC_1}$ Hasonlóan: $\frac{T_{BPA\Delta}}{T_{CPA\Delta}}=\frac{BA_1}{A_1C}$ és $\frac{T_{CPB\Delta}}{T_{APB\Delta}}=\frac{CB_1}{B_1A}$ .

Az így kapott egyenleteket helyettesítsük be a fönti egyenletbe!

$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$

2.b Két pont az oldalegyeneseken, egy az oldalon, párhuzamos egyenesek

Húzzunk be egy tetszőleges $e$ egyenest, ami elmetszi a párhuzamos egyeneseket!

$\frac{A'C'}{C'B'}\cdot\frac{B'A'}{C'A'}\cdot\frac{C'B'}{B'A'}=1$ (Az egyszerűsítés után.)

A párhuzamos szelők tétele következtében az alábbi egyenleteket írhatjuk föl:

$\\ \frac{AC_1}{C_1B}=\frac{A'C'}{C'B'} \\ \frac{BA_1}{A_1C}=\frac{B'A'}{A'C'} \\ \frac{CB_1}{B_1A}=\frac{C'B'}{B'A'} \\$

Ezeket a törteket a fönti egyenletbe behelyettesítve:

$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$

A Ceva-tétel megfordításának bizonyítása

3. Közös metszéspont

Legyen $AA_1$ és $BB_1$ egyenesek metszéspontja $Q$ , a $CQ$ egyenes pedig messe az $AB$ egyenest a $C'$ pontban! A Ceva-tétel szerint fölírhatjuk az alábbi összefüggést:

$\frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$

A tétel megfordítása állításának értelmében:

$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$

A két fölírt egyenletből:

$\\ \frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1=\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A} \\ \frac{AC'}{C'B}=\frac{AC_1}{C_1B} \\ ~~~~~~\Downarrow \\ \frac{AB}{C'B}=\frac{AB}{C_1B} \\$

Így a $C'$ pont megegyezik a $C$ ponttal.

4. Párhuzamos egyenesek

Fönt leírtuk, hogyha $AA_1, BB_1, CC_1$ egyenesek közül bármely kettő metszi egymást (és $\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$ ), akkor a harmadik is ezen a ponton megy át. Tehát, ha van metszéspont, akkor mindhárom egyenes ezen megy át. A továbbiakban azt az esetet vizsgáljuk, amikor $AA_1, BB_1, CC_1$ egyenesek közül két tetszőleges egyenesnek nincs metszéspontja, tehát párhuzamosak.

Legyen $AA_1\|BB_1$ ! Az ezekkel párhuzamos, $C$ ponton átmenő egyenes messe $AB$ egyenesét $C'$ pontban! A Ceva-tétel szerint fölírhatjuk az alábbi összefüggést:

$\frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$

A tétel megfordítása állításának értelmében:

$\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1$

A két fölírt egyenletből:

$\\ \frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A}=1=\frac{AC_1}{C_1B}\cdot\frac{BA_1}{A_1C}\cdot\frac{CB_1}{B_1A} \\ \frac{AC'}{C'B}=\frac{AC_1}{C_1B} \\~~~~~~\Downarrow \\ \frac{AB}{C'B}=\frac{AB}{C_1B} \\$