Kategória:	Bizonyítás - Tétel	Évfolyam:	9.
Kulcsszó:	Trigonometrikus azonosságok (lásd még:04.BD és 04.CD)	Lektorálás:	Nem lektorált

Az alapvető trigonometriai azonosságok

$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{a}=\cot\alpha\Rightarrow \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}$

A Pitagorasz-tétel alapján:

$\begin{tabular}{rcl} a^2+b^2&=&c^2 \\ \left(\frac{a^2}{c^2}\right)+\left(\frac{b^2}{c^2}\right)&=&1 \\ \left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2&=&1 \\ &\Downarrow \\ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=&1 \end{tabular}$

$1=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\tan\alpha\cdot\cot\alpha\Rightarrow\tan\alpha\cdot\cot\alpha\ =1$

1.b

2.

$\begin{tabular}{rcl} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=&1\\ \left{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right}+1&=&\left{\frac{1}{\cos^2\alpha}\right} \\ \sin^2\alpha\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\sin^2\alpha&=&\left{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right} \\ \sin^2\alpha\left(\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+1\right)&=&\left{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right} \\ \sin^2\alpha(\tan^2\alpha+1)&=&\tan^2\alpha \\ \sin^2\alpha&=&\left{\frac{\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}\right} \\ \sin\alpha&=&\left{\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}\right} \end{tabular}$

5.

Az egységsugarú körön húzzunk be $\alpha$ , $(90^{\circ}-\alpha)$ , $(90^{\circ}+\alpha)$ , $(180^{\circ}-\alpha)$ , $(180^{\circ}+\alpha)$ , $(270^{\circ}-\alpha)$ , $(270^{\circ}+\alpha)$ és $(360^{\circ}-\alpha)$ irányszögű, origó középpontú vektorokat (az ábrán feketével jelölve)! A vektorok tükörképei (kék) és a szögek szinuszai (zöld és piros) és koszinuszai (zöld és piros) egy-egy derékszögű háromszöget alkotnak. Ezek a háromszögek nyilvánvalóan egybevágóak (az azonos színű szakaszok egyenlő hosszúak). Az egyenlő hosszú szakaszokat kifejezem szögfüggvényekkel és egyenlővé teszem.

$\begin{tabular}{cccccccccc} &\sin\alpha&=&\cos(90^{\circ}-\alpha)&=&-\cos(90^{\circ}+\alpha)&=&\sin(180^{\circ}-\alpha)&= \\=&-\sin(180^{\circ}+\alpha)&=&-\cos(270^{\circ}-\alpha)&=&\cos(270^{\circ}+\alpha)&=&-\sin(360^{\circ}-\alpha) \end{tabular}$

$\begin{tabular}{cccccccccc} &\cos\alpha&=&\sin(90^{\circ}-\alpha)&=&\sin(90^{\circ}+\alpha)&=&-\cos(180^{\circ}-\alpha)&= \\ =&-\cos(180^{\circ}+\alpha)&=&-\sin(270^{\circ}-\alpha)&=&-\sin(270^{\circ}+\alpha)&=&\cos(360^{\circ}-\alpha) \end{tabular}$

$\begin{tabular}{cccccccccc} &\tan\alpha&=&\cot90^{\circ}-\alpha)&=&-\cot(90^{\circ}+\alpha)&=&-\tan(180^{\circ}-\alpha)&= \\ =&\tan(180^{\circ}+\alpha)&=&\cot(270^{\circ}-\alpha)&=&-\cot(270^{\circ}+\alpha)&=&-\tan(360^{\circ}-\alpha) \end{tabular}$

$\begin{tabular}{cccccccccc} &\cot\alpha&=&\tan(90^{\circ}-\alpha)&=&-\tan(90^{\circ}+\alpha)&=&-\cot(180^{\circ}-\alpha)&= \\ =&\cot(180^{\circ}+\alpha)&=&\tan(270^{\circ}-\alpha)&=&-\tan(270^{\circ}+\alpha)&=&-\cot(360^{\circ}-\alpha) \end{tabular}$

$\begin{tabular}{rcl} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=&1\\ \cos^2\alpha\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\cos^2\alpha&=&1 \\ \cos^2\alpha\left(\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+1\right)&=&1 \\ \cos^2\alpha(\tan^2\alpha+1)&=&1 \\ \cos^2\alpha&=&\left{\frac{1}{1+\tan^2\alpha}\right} \\ \cos\alpha&=&\left{\frac{1}{1+\sqrt{\tan^2\alpha}}\right} \end{tabular}$

Bizonyítás

1.a

3.a

3.b

3.c

$\begin{tabular}{rcl} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=&1 \\ \sin^2\alpha+\cos^2\alpha \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}&=&1 \\ \sin^2\alpha\left(1+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)&=&1 \\ \sin^2\alpha(1+\cot^2\alpha)&=&1 \\ \sin^2\alpha&=&\left{\frac{1}{1+\cot^2\alpha}\right} \\ \sin\alpha&=&\left{\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}\right} \end{tabular}$

3.d

$\begin{tabular}{rcl} \sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=&1 \\ 1+\left{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right}&=&\left{\frac{1}{\sin^2\alpha}\right} \\ \cos^2\alpha+\cos^2\alpha\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}&=&\left{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right} \\ \cos^2\alpha\left(1+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)&=&\left{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right} \\ \cos^2\alpha(1+\cot^2\alpha)&=&\left{\cot^2\alpha\right} \\ \cos^2\alpha&=&\left{\frac{\cot^2\alpha}{1+\cot^2\alpha}\right} \\ \cos\alpha&=&\left{\frac{\cot\alpha}{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}\right} \end{tabular}$

4. 5.a

5.b

5.c

5.d

Összegezve

$\begin{tabular}{ccccccccc} \sin\alpha&=&\sin\alpha&=&\sqrt{1-\cos^2\alpha}&=&\left{\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}\right}&=&\left{\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}\right} \\ \cos\alpha&=&\sqrt{1-\sin^2\alpha}&=&\cos\alpha&=&\left{\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}\right}&=&\left{\frac{\cot\alpha}{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}\right} \\ \end{tabular}$

$\begin{tabular}{ccccccccc} \tan\alpha&=&\left{\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}\right}&=&\left{\frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\cos\alpha}\right}&=&\tan\alpha&=&\left{\frac{1}{\cot\alpha}\right} \\ \cot\alpha&=&\left{\frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}{\sin\alpha}\right}&=&\left{\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}\right}&=&\left{\frac{1}{\tan\alpha}\right}&=&\cot\alpha \\ \end{tabular}$

$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}=\tan\alpha\Rightarrow \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}$