Az oldal tölt...

Keresés

Legújabb cikkek

Támogató

Fazekas

Szabványok

Valid XHTML 1.0 Strict

Valid CSS!

Szerkesztő
Kategória: Bizonyítás - Tétel Évfolyam: 9.
Kulcsszó: Trigonometrikus azonosságok (lásd még:04.BD és 04.CD) Lektorálás: Nem lektorált

Az alapvető trigonometriai azonosságok

\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{a}=\cot\alpha\Rightarrow \cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}
A Pitagorasz-tétel alapján:
\begin{tabular}{rcl}
a^2+b^2&=&c^2 \\
\left(\frac{a^2}{c^2}\right)+\left(\frac{b^2}{c^2}\right)&=&1 \\
\left(\frac{a}{c}\right)^2+\left(\frac{b}{c}\right)^2&=&1 \\
&\Downarrow \\
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=&1
\end{tabular}
1=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\tan\alpha\cdot\cot\alpha\Rightarrow\tan\alpha\cdot\cot\alpha\ =1

1.b

2.

\begin{tabular}{rcl}
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=&1\\
\left{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right}+1&=&\left{\frac{1}{\cos^2\alpha}\right} \\
\sin^2\alpha\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\sin^2\alpha&=&\left{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right} \\
\sin^2\alpha\left(\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+1\right)&=&\left{\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\right} \\
\sin^2\alpha(\tan^2\alpha+1)&=&\tan^2\alpha \\
\sin^2\alpha&=&\left{\frac{\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}\right} \\
\sin\alpha&=&\left{\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}\right}
\end{tabular}

5.

Az egységsugarú körön húzzunk be \alpha, (90^{\circ}-\alpha), (90^{\circ}+\alpha), (180^{\circ}-\alpha), (180^{\circ}+\alpha), (270^{\circ}-\alpha), (270^{\circ}+\alpha) és (360^{\circ}-\alpha) irányszögű, origó középpontú vektorokat (az ábrán feketével jelölve)! A vektorok tükörképei (kék) és a szögek szinuszai (zöld és piros) és koszinuszai (zöld és piros) egy-egy derékszögű háromszöget alkotnak. Ezek a háromszögek nyilvánvalóan egybevágóak (az azonos színű szakaszok egyenlő hosszúak). Az egyenlő hosszú szakaszokat kifejezem szögfüggvényekkel és egyenlővé teszem.
\begin{tabular}{cccccccccc}
&\sin\alpha&=&\cos(90^{\circ}-\alpha)&=&-\cos(90^{\circ}+\alpha)&=&\sin(180^{\circ}-\alpha)&= \\=&-\sin(180^{\circ}+\alpha)&=&-\cos(270^{\circ}-\alpha)&=&\cos(270^{\circ}+\alpha)&=&-\sin(360^{\circ}-\alpha)
\end{tabular}
\begin{tabular}{cccccccccc}
&\cos\alpha&=&\sin(90^{\circ}-\alpha)&=&\sin(90^{\circ}+\alpha)&=&-\cos(180^{\circ}-\alpha)&= \\
=&-\cos(180^{\circ}+\alpha)&=&-\sin(270^{\circ}-\alpha)&=&-\sin(270^{\circ}+\alpha)&=&\cos(360^{\circ}-\alpha)
\end{tabular}
\begin{tabular}{cccccccccc}
&\tan\alpha&=&\cot90^{\circ}-\alpha)&=&-\cot(90^{\circ}+\alpha)&=&-\tan(180^{\circ}-\alpha)&= \\
=&\tan(180^{\circ}+\alpha)&=&\cot(270^{\circ}-\alpha)&=&-\cot(270^{\circ}+\alpha)&=&-\tan(360^{\circ}-\alpha)
\end{tabular}
\begin{tabular}{cccccccccc} &\cot\alpha&=&\tan(90^{\circ}-\alpha)&=&-\tan(90^{\circ}+\alpha)&=&-\cot(180^{\circ}-\alpha)&= \\ =&\cot(180^{\circ}+\alpha)&=&\tan(270^{\circ}-\alpha)&=&-\tan(270^{\circ}+\alpha)&=&-\cot(360^{\circ}-\alpha) \end{tabular}
\begin{tabular}{rcl}
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=&1\\
\cos^2\alpha\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\cos^2\alpha&=&1 \\
\cos^2\alpha\left(\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+1\right)&=&1 \\
\cos^2\alpha(\tan^2\alpha+1)&=&1 \\
\cos^2\alpha&=&\left{\frac{1}{1+\tan^2\alpha}\right} \\
\cos\alpha&=&\left{\frac{1}{1+\sqrt{\tan^2\alpha}}\right}
\end{tabular}

Bizonyítás

1.a

3.a

3.b

3.c

\begin{tabular}{rcl}
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=&1 \\
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}&=&1 \\
\sin^2\alpha\left(1+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)&=&1 \\
\sin^2\alpha(1+\cot^2\alpha)&=&1 \\
\sin^2\alpha&=&\left{\frac{1}{1+\cot^2\alpha}\right} \\
\sin\alpha&=&\left{\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}\right}
\end{tabular}

3.d

\begin{tabular}{rcl}
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha&=&1 \\
1+\left{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right}&=&\left{\frac{1}{\sin^2\alpha}\right} \\
\cos^2\alpha+\cos^2\alpha\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}&=&\left{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right} \\
\cos^2\alpha\left(1+\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right)&=&\left{\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}\right} \\
\cos^2\alpha(1+\cot^2\alpha)&=&\left{\cot^2\alpha\right} \\
\cos^2\alpha&=&\left{\frac{\cot^2\alpha}{1+\cot^2\alpha}\right} \\
\cos\alpha&=&\left{\frac{\cot\alpha}{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}\right}
\end{tabular}

4.

5.a

5.b

5.c

5.d

Összegezve

\begin{tabular}{ccccccccc}
\sin\alpha&=&\sin\alpha&=&\sqrt{1-\cos^2\alpha}&=&\left{\frac{\tan\alpha}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}\right}&=&\left{\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}\right} \\
\cos\alpha&=&\sqrt{1-\sin^2\alpha}&=&\cos\alpha&=&\left{\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2\alpha}}\right}&=&\left{\frac{\cot\alpha}{\sqrt{1+\cot^2\alpha}}\right} \\
\end{tabular}
\begin{tabular}{ccccccccc}
\tan\alpha&=&\left{\frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}\right}&=&\left{\frac{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}{\cos\alpha}\right}&=&\tan\alpha&=&\left{\frac{1}{\cot\alpha}\right} \\
\cot\alpha&=&\left{\frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}{\sin\alpha}\right}&=&\left{\frac{\cos\alpha}{\sqrt{1-\cos^2\alpha}}\right}&=&\left{\frac{1}{\tan\alpha}\right}&=&\cot\alpha \\
\end{tabular}
\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}}=\frac{a}{b}=\tan\alpha\Rightarrow \tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}
Főgombok VisszaElőreFrissítHibát találtál? Jelentsd!NyomtatMutat