Az oldal tölt...

Keresés

Legújabb cikkek

Támogató

Fazekas

Szabványok

Valid XHTML 1.0 Strict

Valid CSS!

Szerkesztő
Kategória: Bizonyítás - Tétel Évfolyam: 9.
Kulcsszó: Polinomok szorzattá alakítása Lektorálás: Nem lektorált

Az általános Vièta-képletek

Bizonyítás

a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n=a_0(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_{n-1})(x-x_n)
Bontsuk föl a zárójeleket a jobb oldalon! Így a jobb oldal:
\left[ a_0(-1)^0 \right]x^n+\left[a_0(-1)^1(x_1+x_2+x_3+...+x_{n-1}x_n)\right]x^{n-1}+\left[a_0(-1)^2\cdot \sigma_2\{x_1,...x_n\}\big]x^{n-2}+...+\big[a_0(-1)^{n-2}\cdot \sigma_{n-2}\{x_1,...x_n\} \big]x^2+\big[a_0(-1)^{n-1}\cdot \sigma_{n-1}\{x_1,...x_n\}\big]x+\big[a_0(-1)^n(x_1x_2x_3\cdot ...\cdot x_{n-1}x_n)\big]
(-1)^i az előjelét határozza meg. A most kapott, és az eredeti polinom azonos fokú együtthatóinak meg kell egyeznie, hiszen a két polinom egyenlő. Észrevéve az általános formulát a két azonos fokú együttható a következőt írhatjuk föl:
a_k=a_0(-1)^k\cdot \sigma_k\{x_1,...x_n\}
\frac{a_k}{a_0}=(-1)^k\cdot \sigma_k\{x_1,...x_n\}
QED
Főgombok VisszaElőreFrissítHibát találtál? Jelentsd!NyomtatMutat