Keresés

Legújabb cikkek

Daniell-elem - definíció
Akkumulátor - definíció
Szárazelem - definíció
Galvánelem - definíció
Kirchhoff II. törvénye (huroktörvény) - törvény

Támogató

Szabványok

200 200

Kategória:	Bizonyítás - Tétel	Évfolyam:	9.
Kulcsszó:	Magasságpont	Lektorálás:	Nem lektorált

A magasságpont oldalakra vett tükörképei

Bizonyítás

$ACM_c\Delta$ belső szögeinek összege megegezik $ABM_b\Delta$ -ével.

$\begin{tabular}{rcll} \alpha+\beta+90^{\circ}+\gamma&=&\alpha+\beta+90^{\circ}+MBM_c\angle@&(=180^{\circ} \Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}) \\ \gamma&=&MBM_c\angle \end{tabular}$

"A középponti és kerületi szögek tétele" miatt $CAB\angle=CM_c'B\ange=\alpha+\beta$ , mivel $BC$ közös húr.

$BM_cM_c'$ háromszögben: $180^{\circ}=BM_cM_c'\angle+M_cM_c'B\angle+M_cBM_c'\angle=90^{\circ}+(\alpha+\beta)+M_cBM_c'\angle$ , tehát $M_cBM_c'\angle=180^{\circ}-90^{\circ}-\alpha-\beta=90^{\circ}-\alpha-\beta$ . De mivel $\alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}$ , így $M_cBM_c'\angle=\gamma$ .

Hasonlóan $BM_cM$ háromszögben: $180^{\circ}=BM_cM\angle+M_cMB\angle+M_cBM\angle=90^{\circ}+M_cMB\angle+\gamma$ , tehát $M_cMB\angle=180^{\circ}-90^{\circ}-\gamma=90^{\circ}-\gamma$ . De mivel $\alpha+\beta+\gamma=90^{\circ}$ , így $M_cMB\angle=\alpha+\beta$ .

Tehát $BMM_c\Delta\simeq BM_c'M_c\Delta$ , mert mindhárom szögük páronként megegyezik, és van egy közös, $BM_c$ oldaluk.

Következésképp $MM_c=M_cM_c'$ , tehát a magasságpontot az oldalra (vagy az magasságvonal talppontjára) tükrözve a körülírt körre jutunk. (A bizonyítás elvégezhető mindhárom oldalra.)