Kategória:	Bizonyítás - Tétel	Évfolyam:	9.
Kulcsszó:	Apollonios-kör	Lektorálás:	Nem lektorált

Az Apollóniusz-kör

Bizonyítás

Írjuk föl a Pitagorasz-tételt az $APP_0$ háromszögre!

$\begin{tabular}{rcl} AP_0^2+P_1P^2&=&AP^2 \\ x^2+y^2&=&AP^2\\ \sqrt{x^2+y^2}&=&AP \end{tabular}$

Majd a $BPP_0$ háromszögre!

$\begin{tabular}{rcl} BP_0^2+P_1P^2&=&PB^2 \\ (b-x)^2+y^2&=&PB^2\\ \sqrt{(b-x)^2+y^2}&=&PB \end{tabular}$

$\begin{tabular}{rcl} \lambda&=&\left{\frac{AP}{PB}\right} \\ \lambda&=&\left{\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{(b-x)^2+y^2}}\right} \\ \lambda^2&=&\left{\frac{x^2+y^2}{(b-x)^2+y^2}\right} \\ \lambda^2y^2+b^2\lambda^2-2bx\lambda^2+\lambda^2x^2-x^2-y^2&=&0 \\ x^2(\lambda^2-1)+y^2(\lambda^2-1)+b^2\lambda^2-2bx\lambda^2&=&0 \\ x^2-\frac{2bx\lambda^2}{\lambda^2-1}+y^2+\frac{b^2\lambda^2}{\lambda^2-1} \\ \left(x-\frac{b\lambda^2}{\lambda^2-1}\right)^2-\frac{b^2\lambda^4}{(\lambda^2-1)^2}+y^2+\frac{b^2\lambda^2}{\lambda^2-1}&=&0 \\ \left(x-\frac{b\lambda^2}{\lambda^2-1}\right)^2+y^2&=&\left{\frac{b^2\lambda^4}{(\lambda^2-1)^2}\right}-\frac{b^2\lambda^2(\lambda^2-1)}{(\lambda^2-1)^2} \\ \left(x-\frac{b\lambda^2}{\lambda^2-1}\right)^2+y^2&=&\left{\frac{b^2\lambda^2(\lambda^2-\lambda^2+1)}{(\lambda^2-1)^2}\right} \\ \left(x-\frac{b\lambda^2}{\lambda^2-1}\right)^2+y^2&=&\left{\frac{b^2\lambda^2}{(\lambda^2-1)^2}\right} \\ \left(x-\frac{b\lambda^2}{\lambda^2-1}\right)^2+y^2&=&\left(\frac{b\lambda}{\lambda^2-1}\right)^2 \\ \end{tabular}$

A kapott egyenlet egy köregyenlet. Tehát az említett tulajdonságú pontok a $\left(\frac{b\lambda^2}{\lambda^2-1}; 0\right)$ középpontú, $\left|\frac{b\lambda}{\lambda^2-1}\right|$ sugarú körön helyezkednek el.

$0\le \lambda <1$ intervallumban a körök középpontjai az $x$ tengelyen az $A$ ponttól balra helyezkednek el. Minél messzebb van a középpontja ettől a ponttól, annál nagyobb a sugara.

$\lambda=1$ esetben $0$ -val osztunk. Így ezt a törtet értelmezhetjük végtelenként is. Ekkor a kör középpontja a $-\infty$ vagy $+ \infty$ pontban van és a sugara $\infty$ hosszú. Ez valójában az $AB$ szakasz felezőmerőlegese.

$1>\lambda$ intervallumban pedig a körök középpontjai az $x$ tengelyen az $B$ ponttól jobbra helyezkednek el. Minél messzebb van a középpontja ettől a ponttól, annál nagyobb a sugara.

Az arány legyen $\frac{AP}{PB}=\lambda$ !

Kezdés

Cikkek

Extrák

Egyéb

Keresés

Legújabb cikkek

Támogató

Szabványok

Az Apollóniusz-kör

Bizonyítás