Az oldal tölt...

Keresés

Legújabb cikkek

Támogató

Fazekas

Szabványok

Valid XHTML 1.0 Strict

Valid CSS!

Szerkesztő
Kategória: Bizonyítás - Tétel Évfolyam: 9.
Kulcsszó: Trigonometria – szögfüggvények Lektorálás: Nem lektorált

A szinusztétel

Tükrözzük C pontot az O középpontra! Az így kapott C' pontot kössük össze C és B pontokkal!
"A középponti és kerületi szögek tétele" miatt CAB\angle=CC'B\angle=\alpha. "A Thalész-tétel" miatt pedig CBC'\angle=90^{\circ}. Írjuk föl a CBC' derékszögű háromszögben az \alpha szög szinuszát!
\begin{tabular}{rcl} \sin\alpha&=&\left{\frac{BC}{CC'}\right} \\ \sin\alpha&=&\left{\frac{a}{2R}\right} \\ \left{\frac{a}{\sin\alpha}\right}&=&2R \end{tabular}
Ezt minden oldalra elvégezhetjük, így megkapjuk a \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R összefüggést.

I.

II.

Írjuk föl az \alpha és a \beta szög szinuszát!
\sin\alpha=\frac{CM_C}{AC}=\frac{m_c}{b}~~~~\sin\beta=\frac{CM_C}{CB}=\frac{m_c}{a}
A két egyenletet egymással elosztjuk:
\begin{tabular}{rcl} \left{\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\right}&=&\left{\frac{\frac{m_c}{b}}{\frac{m_c}{a}\right} \\ \left{\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\right}&=&\left{\frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}}\right} \\ \left{\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}\right}&=&\left{\frac{a}{b}\right} \\ \left{\frac{a}{\sin\alpha}\right}&=&\left{\frac{b}{\sin\beta}\right} \end{tabular}
Ezt minden oldalpárra elvégezhetjük, így \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}.
Tudjuk, hogy T_{ABC\Delta}=\frac{c\cdot m_c}{2}=\frac{cb\sin\alpha}{2} és T_{ABC\Delta}=\frac{abc}{4R}
\begin{tabular}{rcl} \left{\frac{abc}{4R}\right}&=&\left{\frac{bc\sin\alpha}{2}\right} \\ \left{\frac{a}{2R}\right}&=&\sin\alpha \\ \left{\frac{a}{\sin\alpha}\right}&=&2R \end{tabular}
Így \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R.
QED

Bizonyítás

Főgombok VisszaElőreFrissítHibát találtál? Jelentsd!NyomtatMutat