189
189
Kategória: |
Megoldás
- Feladat
|
Évfolyam: |
9. |
Kulcsszó: |
Kör |
Lektorálás: |
Nem lektorált |
Három kör "hatványvonala"
Megoldás
Húzzuk be mindegyik körpár hatványvonalát!
Tekintsük
![e_{1,2} e_{1,2}](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/3306fc437ff837ecc4c3a6cf218eb0c7.png)
és
![e_{2,3} e_{2,3}](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/996803c92556c2fbd98b240afc0a269c.png)
hatványvonalát! Nevezzük a metszéspontot
![P P](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png)
-nek. A
![P P](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png)
pont
![k_1 k_1](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/5816a3210bbbab1d8dc57a0850a78101.png)
és
![k_2 k_2](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/598f2d188e13c994d3ca15cec7cb87bc.png)
körökre vonatkozó hatványa egyenlő, mivel az
![e_{1,2} e_{1,2}](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/3306fc437ff837ecc4c3a6cf218eb0c7.png)
egyenes része; hasonlóan
![k_2 k_2](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/598f2d188e13c994d3ca15cec7cb87bc.png)
és
![k_3 k_3](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/e9049a2628c16ad27fe484f4e233ad79.png)
körökre vonatkozó hatványa egyenlő, mivel az
![e_{2,3} e_{2,3}](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/996803c92556c2fbd98b240afc0a269c.png)
egyenes része. Következésképp a
![k_1 k_1](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/5816a3210bbbab1d8dc57a0850a78101.png)
és
![k_3 k_3](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/e9049a2628c16ad27fe484f4e233ad79.png)
körre vonatkozó hatványa is egyenlő, tehát
![P P](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png)
rajta van
![e_{2,3} e_{2,3}](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/996803c92556c2fbd98b240afc0a269c.png)
hatványvonalon, így a három hatványvonal egy pontban metszi egymást. Ebből a pontból mindhárom körre vonatkozó hatvány egyenlő. Mindegy, hogy a körök metszik, érintik egymást vagy nincsen közös pontjuk, a bizonyítás akkor is igaz.
A bizonyítás során feltettük, hogy
![e_{1,2} e_{1,2}](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/3306fc437ff837ecc4c3a6cf218eb0c7.png)
és
![e_{2,3} e_{2,3}](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/996803c92556c2fbd98b240afc0a269c.png)
metszi egymást. Előfordulhat olyan eset, amikor ez nem igaz, tehát a két hatványvonal párhuzamos. Ekkor a körök középpontjai egy egyenesre esnek, mert
![O_1O_2 \perp e_{1,2} O_1O_2 \perp e_{1,2}](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/5f7eec46a01d4b283e07ecd9e89f8858.png)
. Így a harmadik hatványvonal is párhuzamos a másik kettővel.
Olyan eset is létezik, hogy ez a három párhuzamos hatványvonal megegyezik. Ekkor ez a három kör egy
![\infty \infty](libraries/modulok/latexesszoveg/media/latex/7ed9abff4dafd78d08e616c899412e92.png)
kört tartalmazó körsor tagja.
Tekinthetünk három nulla sugarú kört is. Ekkor a három "csúcs" egy háromszöget alkot, melynek hatványvonalai az oldalfelező merőlegesek. Így az oldalfelező merőlegesek is egy pontban metszik egymást.