Az oldal tölt...

Keresés

Legújabb cikkek

Támogató

Fazekas

Szabványok

Valid XHTML 1.0 Strict

Valid CSS!

Szerkesztő
Kategória: Megoldás - Feladat Évfolyam: 9.
Kulcsszó: Kör Lektorálás: Nem lektorált

Két kör hatványvonala

Megoldás

Helyezzük a két kör koordinátarendszerbe! Az O_1 középpontú, r_1 sugarú kör legyen az origóban; míg az O_2 középpontú, r_2 sugarú kör középpontjának koordinátája legyen (d; 0)! Vegyünk fel egy P=(x; y) pontot, ahonnan két egyenlő (a) hosszúságú érintő húzható a két körhöz!
O_1P_0P és O_1E_1P háromszögek derékszögűek, mivel a sugár merőleges a hozzá tartozó érintőre, ráadásul megegyezik az átfogójuk is. Írjuk fel a Pitagorasz-tételt mindkét háromszögre!
\begin{tabular}{ccccc} O_1P_0^2+P_0P^2&=&O_1P^2&=&O_1E_1^2+E_1P^2 \\ x^2+y^2&&=&&r_1^2+a^2 \end{tabular}
Hasonlóan O_2P_0P és O_2E_2P derékszögű háromszögekre:
\begin{tabular}{ccccc} O_2P_0^2+P_0P^2&=&O_2P^2&=&O_2E_2^2+E_2P^2 \\ (d-x)^2+y^2&&=&&r_2^2+a^2 \end{tabular}
A fölső egyenletből az alsót kivonjuk.
\begin{tabular}{rcl} x^2+y^2-(d-x)^2-y^2&=&r_1^2+a^2-r_2^2-a^2 \\ x_2-(d-x_1)^2&=&r_1^2-r_2^2 \\ 2dx-d^2&=&r_1^2-r_2^2 \\ x&=&\left{\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}\right} \\ x&=&\left{\frac{d}{2}\right}+\left{\frac{r_1^2-r_2^2}{2d}\right} \end{tabular}
A levezetés során kiesett az y, így ettől független a megoldások mértani helye. Mivel x=\left{\frac{d^2+r_1^2-r_2^2}{2d}\right} rögzített, így ezen, az x tengelyre, a két kör középpontjának egyenesére merőlegesen helyezkednek el a keresett pontok. A megoldásból látszik, hogy a két kör középpontja által meghatározott szakasz felezőpontjától \frac{r_1^2-r_2^2}{2O_1O_2} távolságra lesz a merőleges egyenes x tengellyel vett metszéspontja.
Ha a két kör metszi egymást, akkor ennek a merőleges egyenesnek lesznek olyan pontjai, ami a körökön belül van, így innen nem húzható érintő. Fogalmazzuk át a feladatot! "Adjuk meg azon pontok mértani helyét a síkon, ahonnan a pont két adott körre vonatkozó hatványa egyenlő!" Így a belső pontokra is értelmezhetjük a feladatot, tehát az egész egyenes jó megoldást ad. Ezt nevezzük hatványvonalnak.
A levezetés során leosztottunk d-vel, így meg kell néznünk az esetet, amikor d=0, tehát amikor a két kör középpontja egy pontba esik, tehát O_1=O_2.
Teljesen hasonlóan a fenti levezetéshez, itt is egyenlővé tesszük a két egyenletet, amelyet a Pitagorasz-tétel segítségével írtunk föl.
\begin{tabular}{ccccc} O_1P_0^2+P_0P^2&=&O_1P^2&=&O_1E_1^2+E_1P^2 \\ x^2+y^2&&=&&r_1^2+E_1P^2 \end{tabular}
\begin{tabular}{ccccc} O_2P_0^2+P_0P^2&=&O_2P^2&=&O_2E_2^2+E_2P^2 \\ x^2+y^2&&=&&r_2^2+E_2P^2 \end{tabular}
A fölső egyenletből az alsót kivonva:
\begin{tabular}{rcl} x^2+y^2-x^2-y^2&=&r_1^2+E_1P^2-r_2^2-E_2P^2 \\ 0&=&r_1^2+E_1P^2-r_2^2-E_2P^2 \\ r_2^2+E_2P^2&=&r_1^2+E_1P^2 \\ \end{tabular}
Látszik, hogy E_1P=E_2P egyenlőség csak akkor áll fönn, ha r_1=r_2. Tehát ha a körök középpontja megegyezik, akkor csak úgy lehet egy pont e két körre vonatkozó hatványa egyenlő, ha a két körnek egyenlő a sugara is, tehát ha a két kör teljesen megegyezik. Ebben az esetben a sík bármelyik pontjából egyenlő a körökre vonatkozó hatvány.

Diszkusszió

Ha a két kör metszi egymást, akkor a hatványvonal a metszéspontokon átmenő egyenes, mivel a két metszéspont körökre vonatkozó hatványa mindkét esetben 0. Így ez a két pont rajta van a keresett egyenesen, de meg is határozza azt.
Ha a két egyenes érinti egymást (akár kívülről, akár belülről), akkor a hatványvonal az érintési ponton áthaladó, O_1O_2 szakaszra merőleges egyenes lesz, mert az érintési pont a körökre vonatkozó hatvány 0, és merőlegesnek kell lennie O_1O_2 szakaszra.
Főgombok VisszaElőreFrissítHibát találtál? Jelentsd!NyomtatMutat