Kategória:	Bizonyítás - Tétel	Évfolyam:	9.
Kulcsszó:	Pont körre vonatkozó hatványa	Lektorálás:	Nem lektorált

A szelőtétel

Bizonyítás

$PA_1\cdot PA_2$ állandóságát bizonyíthatjuk úgy is fölveszünk egy másik szelőt és bebizonyítjuk a $PA_1\cdot PA_2=PB_1\cdot PB_2$ egyenletet.

Belső pontra

Mivel $A_2$ és $B_1$ pont is az $A_1B_2$ húr látókörén van rajta, így "A középponti és kerületi szögek tételé"-nek értelmében: $A_1A_2B_2\angle=A_1B_1B_2\angle$ .

Hasonlóan $A_2B_1$ húrra: $A_2B_2B_1\angle=A_2A_1B_1$ .

$B_2PA_2$ és $B_1PA_1$ szögek csúcsszögek, így $B_2PA_2\angle=B_1PA_1\angle$ .

Tehát $A_1PB_1$ és $A_2PB_2$ háromszögeknek minden szöge páronként egyenlő, így $A_1PB_1\Delta\sim A_2PB_2\Delta$ .

Így a következő aránypár fölírható:

$\begin{tabular}{rcl} \left{\frac{A_2P}{PB_2}\right}&=&\left{\frac{B_1P}{PA_1} \\ PA_1\cdot PA_2&=&PB_1\cdot PB_2 \end{tabular}$

Most húzzuk be azt a szelőt, amely tartalmazza a $P$ és $O$ pontokat! Erre is igazak a fönt bizonyítottak, így $PA_1\cdot PA_2=PB_1\cdot PB_2=PC_1\cdot PC_2$ .

Az ábrából leolvasható, hogy $C_1P=r-d$ , és $PC_2=-(r+d)$ , mivel előjelesen értelmezzük a szakaszokat ( $P$ az egyenes origója és $C_1$ felé van a pozitív irány). Ezt behelyettesítve:

$PA_1\cdot PA_2=PB_1\cdot PB_2=PC_1\cdot PC_2=(r-d)\cdot -(r+d)=d^2-r^2$ .

Külső pontra

$A_1A_2B_2B_1$ négyszög húrnégyszög, így $A_1A_2B_2\angle=180^{\circ}-A_1B_1B_2\angle$ és $A_2B_2B_1\angle=180^{\circ}-A_2A_1B_1\angle$ . Az ábrából kiolvasható, hogy $A_1B_1P\angle=180^{\circ}-A_1B_1B_2\angle$ és $B_1A_1P\angle=180^{\circ}-A_2A_1B_1\angle$ . Összegezve: $A_1A_2B_2\angle=A_1B_1P\angle$ és $A_2B_2B_1\ange=B_1A_1P\angle$ , amiből következik, hogy $A_1PB_1\Delta\sim A_2PB_2\Delta$ .

Így a következő aránypárt írhatjuk föl:

$\begin{tabular}{rcl} \left{\frac{A_2P}{PB_2}\right}&=&\left{\frac{B_1P}{PA_1} \\ PA_1\cdot PA_2&=&PB_1\cdot PB_2 \end{tabular}$

Most húzzuk be azt a szelőt, amely tartalmazza a $P$ és $O$ pontokat! Erre is igazak a fönt bizonyítottak, így $PA_1\cdot PA_2=PB_1\cdot PB_2=PC_1\cdot PC_2$ .

Az ábrából leolvasható, hogy $C_1P=d-r$ , és $PC_2=r+d$ . Ezt behelyettesítve:

$PA_1\cdot PA_2=PB_1\cdot PB_2=PC_1\cdot PC_2=(r-d)\cdot -(r+d)=d^2-r^2$ .

Vegyük azt a szélsőséges esetet, amikor a szelő érinti a kört! Ekkor a két metszéspont megegyezik, jelöljük ezt a pontot $T$ -vel! A $T$ pont $k$ körre vonatkozó hatványa $TP\cdot TP=TP^2$ .

Írjuk fel a Pitagorasz-tételt $OTP$ háromszögre!

$\begin{tabular}{rcl} OT^2+TP^2&=&PO^2 \\ PO^2-OT^2&=&TP^2 \\ d^2-r^2&=&TP^2 \\ \end{tabular}$

$PA_1\cdot PA_2=PB_1\cdot PB_2=PC_1\cdot PC_2=d^2-r^2=TP^2$

I.

II.

Az $A_1B_1$ oldal közös húrja $A_2A_1B_1$ és $B_2A_1B_1$ háromszögeknek, így $A_1A_2B_1\angle=A_1B_2B_1\angle$ . $A_2B_1P$ és $A_1B_2P$ háromszögekben az $A_1PB_1$ szög is megegyezik, így $A_2B_1P\Delta \sim A_1B_2P\Delta$ . A következő aránypár írható fel: