180
180
Kategória: |
Bizonyítás
- Tétel
|
Évfolyam: |
9. |
Kulcsszó: |
Pont körre vonatkozó hatványa |
Lektorálás: |
Nem lektorált |
A szelőtétel
Bizonyítás

állandóságát bizonyíthatjuk úgy is fölveszünk egy másik szelőt és bebizonyítjuk a

egyenletet.
Belső pontra
Mivel

és

pont is az

húr látókörén van rajta, így "A középponti és kerületi szögek tételé"-nek értelmében:

.
Hasonlóan

húrra:

.

és

szögek csúcsszögek, így

.
Tehát

és

háromszögeknek minden szöge páronként egyenlő, így

.
Így a következő aránypár fölírható:
Most húzzuk be azt a szelőt, amely tartalmazza a

és

pontokat! Erre is igazak a fönt bizonyítottak, így

.
Az ábrából leolvasható, hogy

, és

, mivel előjelesen értelmezzük a szakaszokat (

az egyenes origója és

felé van a pozitív irány). Ezt behelyettesítve:

.
Külső pontra

négyszög húrnégyszög, így

és

. Az ábrából kiolvasható, hogy

és

. Összegezve:

és

, amiből következik, hogy

.
Így a következő aránypárt írhatjuk föl:
Most húzzuk be azt a szelőt, amely tartalmazza a

és

pontokat! Erre is igazak a fönt bizonyítottak, így

.
Az ábrából leolvasható, hogy

, és

. Ezt behelyettesítve:

.
Vegyük azt a szélsőséges esetet, amikor a szelő érinti a kört! Ekkor a két metszéspont megegyezik, jelöljük ezt a pontot

-vel! A

pont

körre vonatkozó hatványa

.
Írjuk fel a Pitagorasz-tételt

háromszögre!
I.
II.
Az

oldal közös húrja

és

háromszögeknek, így

.

és

háromszögekben az

szög is megegyezik, így

. A következő aránypár írható fel: