Kategória:	Bizonyítás - Tétel	Évfolyam:	9.
Kulcsszó:	Terület-felszín (lásd még:05.DB)	Lektorálás:	Nem lektorált

A Héron-képlet

Bizonyítás

I.

Tudjuk, hogy a $c$ oldalhoz tartozó magasságvonal hossza: $m_c=\sqrt{\frac{2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4}{4c^2}}$ .

$\begin{tabular}{rcl} T_{ABC\Delta}&=&\left{\frac{c\cdot m_c}{2}\right} \\ &=&\left{\frac{c\cdot \sqrt{\frac{2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4}{4c^2}}}{2}\right} \\ &=&\sqrt{\frac{2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2-a^4-b^4-c^4}{16}} \\ &=&\sqrt{\frac{(a^2c^2+2abc^2+b^2c^2)-(a^4-2a^2b^2+b^4)-c^4+(a^2c^2-2abc^2+b^2c^2)}{16}} \\ &=&\sqrt{\frac{(a^2+2ab+b^2)c^2-(a^2-b^2)^2-c^4+(a^2-2ab+b^2)c^2}{16}} \\ &=&\sqrt{\frac{(a+b)^2c^2-\big[(a+b)(a-b)\big]^2-c^4+(a-b)^2c^2}{16}} \\ &=&\sqrt{\frac{(a+b)^2c^2-(a+b)^2(a-b)^2-c^4+(a-b)^2c^2}{16}} \\ &=&\sqrt{\frac{\big[(a+b)^2-c^2\big]\cdot\big[c^2-(a-b)^2\big]}{16}} \\ &=&\sqrt{\frac{\big[(a+b+c)(a+b-c)\big]\cdot\big[(c+a-b)(c-a+b)\big]}{16}} \\ &=&\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)}{16}} \\ &=&\sqrt{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right)\left(\frac{a-b+c}{2}\right)\left(\frac{-a+b+c}{2}\right)} \\ &=&\sqrt{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)} \\ \end{tabular}$

$\begin{tabular}{rcl} T_{ABC\Delta}&=&\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \end{tabular}$

II.

$T_{ABC\Delta}=\rho\cdot s \Rightarrow \rho=\frac{T_{ABC\Delta}}{s}$

$T_{ABC\Delta}=\rho_a\cdot (s-a) \Rightarrow \rho_a=\frac{T_{ABC\Delta}}{s-a}$

$EBO_1\Delta \sim FO_2B\Delta$ , mert az oldalak páronként merőlegesek egymásra. (A belső szögfelező merőleges a külső szögfelezőre $(O_1B \perp BO_2)$ , másrészt a sugárhoz tartozó érintő merőleges a sugárra.) Így a következő aránypár írható föl:

$\frac{O_2F}{FB}=\frac{BE}{EO_1}$ .

"A beírt kör érintőpontjainak távolsága a csúcsoktól" című bizonyításból tudjuk, hogy $FB=s-c, BE=s-b$ . Továbbá az ábrából kiolvasható, hogy $O_2F=\rho_a=\frac{T_{ABC\Delta}}{s-a}, EO_1=\rho=\frac{T_{ABC\Delta}}{s}$ . Ezeket behelyettesítjük az aránypárba.

$\begin{tabular}{rcl} \left{\frac{\rho_a}{s-c}\right}&=&\left{\frac{s-b}{\rho}\right} \\ \left{\frac{\frac{T_{ABC\Delta}}{s-a}}{s-c}\right}&=&\left{\frac{s-b}{\frac{T_{ABC\Delta}}{s}}\right} \\ \left{\frac{T_{ABC\Delta}}{(s-a)(s-c)}\right}&=&\left{\frac{s(s-b)}{T_{ABC\Delta}}\right} \\ T_{ABC\Delta}^2&=&s(s-a)(s-b)(s-c) \\ T_{ABC\Delta}&=&\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ \end{tabular}$

Kezdés

Cikkek

Extrák

Egyéb

Keresés

Legújabb cikkek

Támogató

Szabványok

A Héron-képlet

Bizonyítás

I.

II.