Kategória:	Bizonyítás - Tétel	Évfolyam:	9.
Kulcsszó:	Trigonometrikus azonosságok (lásd még:04.BD és 04.CD)	Lektorálás:	Nem lektorált

Az addíciós (összegzési) képletek

Bizonyítás

$\begin{tabular}{lll} BA=\sin\gamma=\sin(\alpha+\beta) & BM_C=\sin\alpha\cdot\cos\beta & M_CA=\cos\alpha\cdot\sin\beta \\ CM_C=\sin\alpha \cdot \sin\beta & CM=\cos\gamma & MM_C=\cos\alpha\cdot\cos\beta \\ \end{tabular}$

Így $\sin\big(\alpha+(-\beta)\big)=\sin\alpha\cdot\cos(-\beta)+\cos\alpha\cdot\sin(-\beta)$ is igaz. Bizonyított, hogy $\sin(-\beta)=-\sin\beta$ és $\cos(-\beta)=\cos\beta$ . Ezt beírva a fönti egyenletbe: $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta-\cos\alpha\cdot\sin\beta$ .

$CM_C=CM+MM_C$

Mivel $\sin\gamma=\sin(180^{\circ}-\gamma)=\sin\big((\alpha+\beta+\gamma)-\gamma\big)=\sin(\alpha+\beta)$ , ezért $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$ .

Összegezve: $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$

$CM=CM_C-MM_C=\cos\gamma=\sin\alpha\cdot\sin\beta-\cos\alpha\cdot\cos\beta$

Mivel $\cos\gamma=-\sin(180^{\circ}-\gamma)=-\cos((\alpha+\beta+\gamma)-\gamma)=-\cos(\alpha+\beta)$ , ezért $-\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cdot\sin\beta-\cos\alpha\cdot\cos\beta$ , így $\sin(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta$

Így $\cos\big(\alpha+(-\beta)\big)=\cos\alpha\cdot\cos(-\beta)-\sin\alpha\cdot\sin(-\beta)$ is igaz. Bizonyított, hogy $\sin(-\beta)=\sin\beta$ és $\cos(-\beta)=\cos\beta$ . Ezt beírva a fönti egyenletbe: $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta+\sin\alpha\cdot\sin\beta$ .

Összegezve: $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta$

$\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)}=\frac{\sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta}{\cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\pm\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\pm\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1\mp\frac{\sin\alpha\cdot\sin\beta}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}}=$

$=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\pm\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1\mp\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta}=\tan(\alpha\pm\beta)$

$\cot(\alpha\pm\beta)=\frac{\cos(\alpha\pm\beta)}{\sin(\alpha\pm\beta)}=\frac{\cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta}{\sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta}=\frac{\frac{\cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}}{\frac{\sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}}=$

$=\frac{\frac{\cos\alpha\cdot\cos\beta}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}\mp1}{\frac{\sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta}{\sin\alpha\cdot\sin\beta}}=\frac{\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\cdot\frac{\cos\beta}{\sin\beta}\mp1}{\frac{\cos\beta}{\sin\beta}\pm\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}}=\frac{\cot\alpha\cdot\cot\beta\mp1}{\cot\beta\pm\cot\alpha}=\cot(\alpha\pm\beta)$

$AB=BM_C+M_CA \Rightarrow\sin\gamma=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta$

Vegyünk egy olyan $\alpha$ , $\beta$ és $\gamma$ szögű háromszöget, amely köréírt körének sugara egységnyi! Húzzuk be mindhárom magasságvonalat! A kapott szakaszok közül néhányat a következőkben kifejezzük a szögek segítségével.

Kezdés

Cikkek

Extrák

Egyéb

Keresés

Legújabb cikkek

Támogató

Szabványok

Az addíciós (összegzési) képletek

Bizonyítás

$CM_C=CM+MM_C$

$AB=BM_C+M_CA \Rightarrow\sin\gamma=\sin\alpha\cdot\cos\beta+\cos\alpha\cdot\sin\beta$