Keresés

Legújabb cikkek

155 155

Kategória:	Bizonyítás - Tétel	Évfolyam:	9.
Kulcsszó:	Trigonometria – szögfüggvények	Lektorálás:	Nem lektorált

Írjuk föl a Pitagorasz-tételt a $ABM_C$ és $CBM_C$ háromszögekre!

$(b-x)^2+m_b^2=c^2$

$x^2+m_b^2=a^2$

A fölső egyenletből az alsót kivonva:

$\begin{tabular}{rcl} b^2-2bx+x^2-x^2 & = & c^2-a^2 \\ b^2-2bx & = & c^2-a^2 \\ c^2 & = & a^2+b^2-2bx \\ \end{tabular}$

Az ábrából kiolvasható:

$\frac{x}{a}=\cos\gamma\Rightarrow x=a\cos\gamma$

Ezt visszahelyettesítve:

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$

Ebben az esetben $\gamma=90^{\circ}$ . Tudjuk, hogy $\cos 90^{\circ}=0$ .

$c^2=a^2+b^2=a^2+b^2-0=a^2+b^2-2ab\cdot 0=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$

Írjuk föl a Pitagorasz-tételt!

Hasonlóan a föntihez, írjuk föl a Pitagorasz-tételt a $ABM_C$ és $CBM_C$ háromszögekre!

$(b+x)^2+m_b^2=c^2$

$x^2+m_b^2=a^2$

A fölső egyenletből kivonva az alsót:

$\begin{tabular}{rcl} b^2+2bx+x^2-x^2 & = & c^2-a^2 \\ b^2+2bx & = & c^2-a^2 \\ c^2 & = & a^2+b^2+2bx \\ \end{tabular}$

Az ábrából látszik:

$\frac{x}{a}=\cos(180^{\circ}-\gamma\ )=-\cos\gamma \Rightarrow x=-a\cos\gamma$

Helyettesítsük ezt vissza!

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$

$QED$