Az oldal tölt...

Keresés

Legújabb cikkek

Támogató

Fazekas

Szabványok

Valid XHTML 1.0 Strict

Valid CSS!

Szerkesztő
Kategória: Bizonyítás - Tétel Évfolyam: 9.
Kulcsszó: Trigonometria – szögfüggvények Lektorálás: Nem lektorált

A koszinusztétel

Bizonyítás

Írjuk föl a Pitagorasz-tételt a ABM_C és CBM_C háromszögekre!
(b-x)^2+m_b^2=c^2
x^2+m_b^2=a^2
A fölső egyenletből az alsót kivonva:
\begin{tabular}{rcl}
b^2-2bx+x^2-x^2 & = & c^2-a^2 \\
b^2-2bx & = & c^2-a^2 \\
c^2 & = & a^2+b^2-2bx \\
\end{tabular}
Az ábrából kiolvasható:
\frac{x}{a}=\cos\gamma\Rightarrow x=a\cos\gamma
Ezt visszahelyettesítve:
c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma

Derékszögű háromszögre

Ebben az esetben \gamma=90^{\circ}. Tudjuk, hogy \cos 90^{\circ}=0.
c^2=a^2+b^2=a^2+b^2-0=a^2+b^2-2ab\cdot 0=a^2+b^2-2ab\cos\gamma
Írjuk föl a Pitagorasz-tételt!

Tompaszögű háromszögre

Hasonlóan a föntihez, írjuk föl a Pitagorasz-tételt a ABM_C és CBM_C háromszögekre!
(b+x)^2+m_b^2=c^2
x^2+m_b^2=a^2
A fölső egyenletből kivonva az alsót:
\begin{tabular}{rcl}
b^2+2bx+x^2-x^2 & = & c^2-a^2 \\
b^2+2bx & = & c^2-a^2 \\
c^2 & = & a^2+b^2+2bx \\
\end{tabular}
Az ábrából látszik:
\frac{x}{a}=\cos(180^{\circ}-\gamma\ )=-\cos\gamma \Rightarrow x=-a\cos\gamma
Helyettesítsük ezt vissza!
c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma
QED

Hegyesszögű háromszögre

Főgombok VisszaElőreFrissítHibát találtál? Jelentsd!NyomtatMutat