Kategória:	Megoldás - Feladat	Évfolyam:	9.
Kulcsszó:	Súlyvonalak	Lektorálás:	Nem lektorált

A súlyvonal hossza

Tükrözzük a háromszöget $F_{AB}$ -re! A középpontos tükrözés tulajdonságai miatt $CA\|BC'$ és $BC\|AC'$ , tehát egy paralelogrammát kaptunk. Erre felírhatjuk "A paralelogrammatételt", majd ezt rendezzük $s_c$ -re!

$\begin{tabular}{rcl} 2(a^2+b^2) & = & c^2+(2s_c)^2 \\ 2a^2+2b^2-c^2 & = & 4s_c^2 \\ \left(\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}\right) & = & s_c^2 \\ s_c & = & \left(\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}\right) \end{tabular}$

Ha $a=b$ , akkor egy egyenlőszárú háromszög magasságát kell kiszámolnunk. Írjuk föl a Pitagorasz-tételt a magasságvonal (súlyvonal), az egyik szár és az alap fele által meghatározott derékszögű háromszögre!

I.

II.

A $BCF_{AB}$ , majd a $BAC$ háromszögre írjuk föl a koszinusztételt!

$s_c^2=a^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2-2a\frac{c}{2}\cdot \cos \alpha$

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos\alpha$

Most vonjuk ki a felső egyenletből az alsó egyenlet felét!

$s_c^2-\frac{b^2}{2}=a^2-\frac{a^2}{2}+\frac{c}{2}^2-\frac{c^2}{2}$

$s_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$

$s_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}$

III.

Írjuk föl a koszinusztételt a $BCF_{AB}$ , majd az $ACF_{AB}$ háromszögre!

$a^2=s_c^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2-2s_c\frac{c}{2}\cos \gamma$

$b^2=s_c^2+\left(\frac{c}{2}\right)^2-2s_c\frac{c}{2}\cos (180^{\circ}-\gamma )$

Ismeretes, hogy $\cos (180^{\circ}-\gamma) =-\cos \gamma$

Így a két egyenletet összeadva:

$a^2+b^2=2s_c^2+\frac{c^2}{2}$

$s_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}$

IV.

Tudjuk, hogy a súlyvonal felezi a háromszög területét. Így a két kisháromszögre $(BCF_{AB}, CAF_{AB})$ felírva a Hérón-képletet, ezek egyenlők lesznek. Ez az egyenlet csak a súlyvonal hosszát tartalmazza ismeretlenként, így ebből ez kifejezhető.

$\begin{tabular}{rcll} T_{CAF_{AB}\Delta} & = & T_{CBF_{AB}\Delta} \\ \sqrt{\left(\frac{b+s_c+\frac{c}{2}}{2}\right)\left(\frac{b+s_c+\frac{c}{2}}{2}-b\right)\left(\frac{b+s_c+\frac{c}{2}}{2}-s_c\right)\left(\frac{b+s_c+\frac{c}{2}}{2}-\frac{c}{2}\right)}& = & \sqrt{\left(\frac{a+s_c+\frac{c}{2}}{2}\right)\left(\frac{a+s_c+\frac{c}{2}}{2}-a\right)\left(\frac{a+s_c+\frac{c}{2}}{2}-s_c\right)\left(\frac{a+s_c+\frac{c}{2}}{2}-\frac{c}{2}\right)}\\ \end{tabular}$

$\begin{tabular}{rcl} \sqrt{\left(\frac{b+s_c+\frac{c}{2}}{2}\right)\left(\frac{-b+s_c+\frac{c}{2}}{2}\right)\left(\frac{b-s_c+\frac{c}{2}}{2}\right)\left(\frac{b+s_c-\frac{c}{2}}{2}\right)}&=& \sqrt{\left(\frac{a+s_c+\frac{c}{2}}{2}\right)\left(\frac{-a+s_c+\frac{c}{2}}{2}\right)\left(\frac{a-s_c+\frac{c}{2}}{2}\right)\left(\frac{a+s_c-\frac{c}{2}}{2}\right)} ~~ \left/ ^2 \cdot 16 \\ \end{tabular}$

$\left(b+s_c+\frac{c}{2}\right)\left(-b+s_c+\frac{c}{2}\right)\left(b-s_c+\frac{c}{2}\right)\left(b+s_c-\frac{c}{2}\right)} = \left(a+s_c+\frac{c}{2}\right)\left(-a+s_c+\frac{c}{2}\right)\left(a-s_c+\frac{c}{2}\right)\left(a+s_c-\frac{c}{2}\right)$

$\left[\left(s_c+\frac{c}{2}\right)^2-b^2\right]\left[b^2-\left(\frac{c}{2}-s_c\right)^2\right]=\left[\left(s_c+\frac{c}{2}\right)^2-a^2\right]\left[a^2-\left(\frac{c}{2}-s_c\right)^2\right]$

$\left(s_c+\frac{c}{2}\right)^2b^2-\left(s_c+\frac{c}{2}\right)^2\left(\frac{c}{2}-s_c\right)^2-b^4+b^2\left(\frac{c}{2}-s_c\right)^2=\left(s_c+\frac{c}{2}\right)^2a^2-\left(s_c+\frac{c}{2}\right)^2\left(\frac{c}{2}-s_c\right)^2-$ $a^4+a^2\left(\frac{c}{2}-s_c\right)^2$

Az $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ összefüggést használva az első-második és a harmadik-negyedik tagra:

Közös nevezőre hozunk az egyes zárójeleken belül:

Kibontjuk a zárójeleket:

Nullára rendezzük az egyenletet, és kiemelünk $(b^2-a^2)$ -t:

$(b^2-a^2)\left(s_c+\frac{c}{2}^2\right)-(b^2-a^2)(b^2+a^2)+(b^2-a^2)\left(\frac{c}{2}-s_c\right)^2=0$

Leosztunk $(b^2-a^2)$ -tel: ( $b^2-a^2\ne 0 \Rightarrow a \ne b$ )

$\begin{tabular}{rcl} \left(s_c+\frac{c}{2}\right)^2-(b^2+a^2)+\left(\frac{c}{2}-s_c\right)^2 & = & 0 \\ \left(\frac{c}{2}+s_c\right)^2+\left(\frac{c}{2}-s_c\right)^2 & = & a^2+b^2 \\ 2s_c^2+\frac{c^2}{2} & = & a^2+b^2 \\ s_c^2 & = & \left{\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}\right} \\ s_c & = & \left{\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}\right} \end{tabular}$

$QED$

$\left[\left(s_c+\frac{c}{2}\right)+b\right]\left[\left(s_c+\frac{c}{2}\right)-b\right]-\left[b+\left(\frac{c}{2}-s_c\right)\right]\left[b-\left(\frac{c}{2}-s_c\right)\right]=\left[\left(s_c+\frac{c}{2}\right)+a\right]\left[\left(s_c+\frac{c}{2}\right)-a\right]-\left[a+\left(\frac{c}{2}-s_c\right)\right]\left[a-\left(\frac{c}{2}-s_c\right)\right]$