Kategória:	Bizonyítás - Tétel	Évfolyam:	9.
Kulcsszó:	Belső szögek felezői	Lektorálás:	Nem lektorált

A belsőszögfelező-tétel

Bizonyítás

I.

Hosszabbítsuk meg az $a$ oldalt $b$ -vel, legyen ez a pont $A'$ . Ekkor $ACA'\angle=180^{\circ}-ACB\angle=180^{\circ}-\gamma$ ! Az $ACA'$ háromszög egyenlőszárú $(AC=A'C)$ , tehát $ACA'\angle=A'CA\angle=\frac{180^{\circ}-(180^{\circ}-\gamma)}{2}=\frac{\gamma}{2}$ . Mivel $BCH\angle=BA'A\angle=\frac{\gamma}{2}$ , így $A'A\|CH$ .

Erre fölírva a párhuzamos szelők tételét: $\frac{a}{HB}=\frac{b}{AH}$ , rendezve: $\frac{AH}{HB}=\frac{a}{b}$ .

II.a

Írjuk föl a szinusztételt $AHB$ , majd $BCH$ háromszögekre!

$\frac{AH}{\sin \frac{\gamma}{2}}=\frac{CH}{\sin \alpha}~~~~~~~~~~\frac{BH}{\sin \frac{\gamma}{2}}=\frac{CH}{\sin \beta}$

$\frac{AH}{HB}=\frac{\frac{\sin \frac{\gamma}{2}\cdot CH}{\sin \alpha}}{\frac{\sin \frac{\gamma}{2}\cdot CH}{\sin \beta}}=\frac{\sin \beta}{\sin \alpha}=\frac{\frac{m_c}{a}}{\frac{m_c}{b}}=\frac{b}{a}$

II.b

Hasonlóan írjuk föl a szinusztételt $AHB$ , majd $BCH$ háromszögekre!

$\frac{AH}{\sin \frac{\gamma}{2}}=\frac{b}{\sin \varphi}~~~~~~~~~~\frac{BH}{\sin \frac{\gamma}{2}}=\frac{a}{\sin (180^{\circ}-\varphi)}$

Ismeretes, hogy $\sin \varphi=\sin (180^{\circ}-\varphi)$ . $\frac{AH}{HB}=\frac{\frac{\sin \frac{\gamma}{2}\cdot b}{\sin \varphi}}{\frac{\sin \frac{\gamma}{2}\cdot a}{\sin \varphi}}=\frac{\sin \beta}{\sin \alpha}=\frac{\frac{m_c}{a}}{\frac{m_c}{b}}=\frac{b}{a}$

III.

$\frac{T_A}{T_B}=\frac{AH \cdot m_c}{HB \cdot m_c}=\frac{AH}{HB}$

Mivel a szögfelező minden pontja egyenlő távol van a szög két szárától, így $m_a=m_b.~~~\frac{T_A}{T_B}=\frac{\frac{m_a \cdot b}{2}}{\frac{m_b \cdot a}{2}}=\frac{b}{a}$