Az oldal tölt...

Keresés

Legújabb cikkek

Támogató

Fazekas

Szabványok

Valid XHTML 1.0 Strict

Valid CSS!

Szerkesztő
Kategória: Bizonyítás - Tétel Évfolyam: 9.
Kulcsszó: Polinomok szorzattá alakítása Lektorálás: Nem lektorált

A polinom gyökének kiemelhetősége

a(x)=a_1x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n (\omega az egyenlet egyik gyöke.)
\mathbb{C}[x]~~~~\omega \in \mathbb{C}
a(\omega)=0 \Leftrightarrow a(x)=(x-\omega)\cdot a'(x)

Bizonyítás

Helyettesítsünk be x helyére \omega-t! Ekkor \left[a(\omega)=0\right]=\left[(\omega-\omega)a'(x)=0\right], tehát az \Leftarrow irányban igaz. Innen két módon is beláthatjuk, hogy az \Rightarrow irányban is igaz.

I.

a(x)=a(x)-a(\omega)=a_0x^n-a_0\omega^n+a_1x^{n-1}-a_1\omega^{n-1}+...+a_{n-1}x-a_{n-1}\omega+a_n-a_n=\\
=a_0(x-\omega)[x^{n-1}+x^{n-2}\omega+x^{n-3}\omega^2+...+x\omega^{n-2}+\omega^{n-1}]+a_1(x-\omega)[x^{n-2}+...+\omega^{n-2}]+...+a_{n-1}(x-\omega)=\\
=(x-\omega)[x^{n-1}+x^{n-2}\omega+x^{n-3}\omega^2+...+x\omega^{n-2}+\omega^{n-1}+x^{n-2}+...+\omega^{n-2}+...+x+\omega]=(x-\omega)\cdot a'(x)

II.

a(x)=(x-\omega)\cdot a'(x)+k
k a maradék a fönti osztásban. Helyettesítsünk be \omega-t!
Ekkor 0=0+k ~~~ \Rightarrow k=0. Mivel nincsen maradék, így a(x) osztható (x-\omega)-val, tehát a gyök kiemelhető.
Főgombok VisszaElőreFrissítHibát találtál? Jelentsd!NyomtatMutat